* Inégalité de convexité

Exercice 1

On considère une fonction \(f\)  définie  sur un intervalle  \(I\) et convexe sur \(I\) . On note \(\mathscr{C}_f\)  sa courbe représentative.
Soit \(a\)  et \(b\)  deux réels de l'intervalle \(I\) . On considère les points \(\text A\)  et \(\text B\)  de   \(\mathscr{C}_f\)  d'abscisse respective \(a\)  et \(b\) .

1. Calculer les coordonnées du point \(\text C\)  milieu de \([AB]\) .

2. En déduire que \(f\left(\displaystyle\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \displaystyle\frac{1}{2}f(a)+\displaystyle\frac{1}{2}f(b)\) .

Exercice 2

En utilisant l'inégalité précédente , montrer que, pour tous réels \(x\)  et \(y\) , on a \(\text{e}^{x+y} \leqslant \displaystyle\frac{1}{4}\left(\text{e}^x+\text{e}^y\right)^2\) .